時系列分析!ARモデルの予測値は将来的に一定になることを証明!

こんにちは!
IT企業に勤めて、約2年間でデータサイエンティストになったごぼちゃん(@XB37q)です!

このコラムでは、ARモデルの予測値が、遠い未来を予測するほど予測値が一定になる現象について紹介します!
数式が出てきますが、興味のある人だけ読んでください!

1次のARモデルを例に考える

1次のARモデルを考える
1次のARモデルを考える

1次のARモデルを例に将来の予測値を考えていきます。
1次のARモデルは上記の式で構築されます。

ARモデルの式 y+1期
ARモデルの式 y+1期

また、t+1期の式は上記の式になります。
t期時点でt+1期時点の予測を行う場合、ホワイトノイズは0になるため、予測値は下記の式になります。

ARモデル y+1期の予測式
ARモデル y+1期の予測式

同様に、t+2期の式は下記の式になり、t期時点でt+2期時点の予測を行う場合の予測値も求めます。

ARモデルの式 y+2期
ARモデルの式 y+2期
ARモデル y+2期の予測式
ARモデル y+2期の予測式

このt+1期とt+2期の予測値から一般化するために、t+h期を求めていきます。

ARモデルの式 y+h期
ARモデルの式 y+h期
ARモデル y+h期の予測式
ARモデル y+h期の予測式

t+h期の予測式から分かるように、t+h期の予測値に使われている値はt時点の値だけになります。

次に、このhが大きくなっていったときに、予測値がどのように推移するかを考えてみます。
1次ARモデルの定常条件は下記になります。

1次のARモデルが定常性を満たす条件
1次のARモデルが定常性を満たす条件

そのため、t+h期の予測式より右項のy_tの係数が指数関数的に小さくなっていきます。
これは、hが大きくなればなるほど下記の値に近づいていくことを表しています。

長期的な予測値は一定になる
長期的な予測値は一定になる

つまり、予測期間であるhが長くなるにつれて、現在分かっている値が与える影響は少なくなっていき、予測値が一定になることを表しています。
この結果は、定常性のある1次のARモデルは長期的に平均の方向に戻っていくことになり、平均回帰的と言われます。

まとめ

  • ARモデルの予測値が、遠い未来を予測するほど予測値が一定になる
  • t+h期の予測値に使われている値はt時点の値だけのため

参考図書